本文主要介绍了数论中的一些基本概念和算法，包括素数判定、因数个数、线性筛、最小素因数、欧拉函数、欧拉函数线性筛等。同时，文章还给出了每个算法的复杂度分析和证明。

在SSL-OI夏日合宿中，参与者们面对了三道题目。T1是关于分火腿的问题，要求将火腿切成大小相等的份数，求最小切几刀，解法是输出$m-(n,m)$，其中$(n,m)$表示$n$和$m$的最大公约数。T2是关于工资分配的问题，要求将数组分成最多$m$块，求各块和的最大值最小，解法是二分答案并贪心遍历数组。T3是关于选择$k$个数使其$gcd$最大的问题，解法是记录每个值出现的次数，然后从大到小枚举答案，统计倍数出现次数的和，若大于等于$k$则为答案。整体而言，题目难度适中，参与者们在中午前就完成了所有题目的修改。下午计划修改昨天的题目，并关注NOI网络同步赛的情况。

文章讨论了POI2018中的水箱问题（luoguP5952），该问题要求计算一个$n*m$方格水箱中，水位高度不超过$H$的情况下，有多少种不同的水位分布。文章提出了一种基于最小生成树的解决方案，通过从小到大枚举墙的高度，合并水域并计算答案。算法使用并查集来维护水域的合并，并通过优先队列来处理墙的合并顺序。最终，程序输出水位分布的总数，该数对$10^9+7$取模。文章还提到了一些实现细节，如数组大小和优化技巧。

文章讨论了SSL-OI夏日合宿2020.08.17 A组的三道题目。T1题要求根据边权求点权，解法涉及基环树和环上的k元一次方程组求解。T2题要求将数组分为两个上升子序列，使差值最小，解法涉及二分图染色和DP。T3题涉及序列操作，支持修改和查询，解法提出了树剖和树套树两种方法。文章还提到了出题人胡睿和博客更新情况。

SSL-OI 夏日合宿 A 组题目难度较低，前三道题是中山市选 2012 的原题，第四题是北爷出的附加题。作者 C 打挂，最后得分 180 分。下午发动学长限定技能，快速讲评快速下班。